Tính độ lồi trái phiếu – Bond Convexity Calculator

Giới thiệu về Tính độ lồi trái phiếu – Bond Convexity Calculator

Tính độ lồi trái phiếu – Bond Convexity Calculator là công cụ tính độ lồi gần đúng từ giá trái phiếu trong ba trạng thái: tại lợi suất hiện hành, khi lợi suất giảm và khi lợi suất tăng. Kết quả giúp đánh giá mức độ cong của quan hệ giá – lợi suất, đồng thời xác định phần điều chỉnh giá do độ lồi tại mức biến động lợi suất đã nhập.

Giá trái phiếu thường biến động ngược chiều với lợi suất, nhưng quan hệ này không hoàn toàn tuyến tính. Với nhiều trái phiếu có dòng tiền cố định và không kèm quyền chọn, mức tăng giá khi lợi suất giảm có thể lớn hơn mức giảm giá khi lợi suất tăng cùng một biên độ. Convexity, hay độ lồi, mô tả đặc điểm phi tuyến đó.

Nếu chỉ dùng duration để phân tích, nhà đầu tư đang xấp xỉ đường cong giá – lợi suất bằng một đường thẳng. Cách tiếp cận này thường hữu ích với biến động nhỏ, nhưng có thể kém chính xác hơn khi lợi suất thay đổi đáng kể. Độ lồi bổ sung thành phần bậc hai, giúp việc phân tích biến động giá sát hơn với hình dạng thực tế của đường cong.

Công cụ phù hợp khi người dùng đã có giá trái phiếu theo các kịch bản lợi suất từ mô hình định giá, bảng tính hoặc hệ thống phân tích. Công cụ không tự định giá trái phiếu từ coupon, kỳ hạn hay mệnh giá; nhiệm vụ của nó là xử lý các mức giá đầu vào để tính chỉ tiêu độ lồi.

Giải thích các thuật ngữ và thông số

Giá trái phiếu hiện tại — P₀

P₀ là giá tại mức lợi suất cơ sở, đóng vai trò chuẩn so sánh với hai kịch bản còn lại. Đây cũng là mẫu số dùng để chuẩn hóa độ cong theo quy mô giá trái phiếu.

• Đơn vị: tiền tệ hoặc điểm giá, tùy cách biểu thị dữ liệu đầu vào.
• Giá trị hợp lệ: phải là số lớn hơn 0.
• Yêu cầu nhất quán: phải sử dụng cùng đơn vị và cùng quy ước giá với P₋, P₊.

Chẳng hạn, nếu P₀ là giá trên 100 đơn vị mệnh giá, hai giá kịch bản cũng phải được biểu thị trên 100 đơn vị mệnh giá. Không nên trộn giá tính bằng tiền với giá tính theo phần trăm mệnh giá.

Giá khi lợi suất giảm — P₋

P₋ là giá trái phiếu khi lợi suất giảm một mức Δy so với lợi suất cơ sở. Dấu “−” chỉ hướng thay đổi của lợi suất, không phải hướng thay đổi của giá.

• Đơn vị: giống P₀.
• Giá trị hợp lệ: phải là số lớn hơn 0.
• Quan hệ thường gặp: P₋ > P₀ đối với trái phiếu thông thường có dòng tiền cố định.

Ví dụ, nếu lợi suất cơ sở là 8% và biên độ thay đổi là 1 điểm phần trăm, P₋ phải là giá được định giá tại lợi suất 7%.

Giá khi lợi suất tăng — P₊

P₊ là giá khi lợi suất tăng một mức Δy so với lợi suất cơ sở.

• Đơn vị: giống P₀ và P₋.
• Giá trị hợp lệ: phải là số lớn hơn 0.
• Quan hệ thường gặp: P₊ < P₀ đối với trái phiếu thông thường có dòng tiền cố định.

Trong ví dụ lợi suất cơ sở 8% và biên độ 1 điểm phần trăm, P₊ tương ứng với giá tại lợi suất 9%. Hai kịch bản tăng và giảm phải có cùng biên độ quanh lợi suất cơ sở để công thức sai phân trung tâm có ý nghĩa.

Mức thay đổi lợi suất — Δy

Δy là độ lớn của cú dịch chuyển lợi suất trong mỗi kịch bản. Ô nhập sử dụng đơn vị %, còn thuật toán chuyển giá trị đó sang dạng thập phân trước khi tính toán.

• Giá trị mặc định: 1.
• Giá trị hợp lệ: phải là số lớn hơn 0; không chấp nhận 0 hoặc số âm.
• Quy đổi: nhập 1 tương ứng với 1 điểm phần trăm = 100 điểm cơ bản, hay 0.01 trong công thức.
• Ví dụ khác: nhập 0.25 tương ứng với 25 điểm cơ bản, hay 0.0025 trong công thức.

Cần phân biệt thay đổi tuyệt đối của lợi suất với thay đổi tương đối. Lợi suất từ 8% lên 9% là tăng 1 điểm phần trăm, không phải tăng tương đối 1%. Ngoài ra, Δy là khoảng cách từ lợi suất cơ sở đến mỗi kịch bản; khoảng cách giữa hai kịch bản là 2 × Δy.

Độ lồi gần đúng — Approximate Convexity

Đây là kết quả chính, được tính từ ba mức giá và biên độ lợi suất. Công cụ hiển thị ba chữ số sau dấu thập phân.

• Độ lồi dương: P₋ + P₊ > 2 × P₀.
• Độ lồi bằng 0: P₋ + P₊ = 2 × P₀.
• Độ lồi âm: P₋ + P₊ < 2 × P₀.

Độ lồi không phải tỷ lệ phần trăm và cũng không phải số tiền. Chỉ tiêu này phụ thuộc vào quy ước đo lợi suất; trong công cụ, lợi suất được sử dụng ở dạng thập phân. Theo cách diễn giải phổ biến đối với lợi suất năm, đơn vị độ lồi thường được mô tả là năm², nhưng việc so sánh vẫn cần thống nhất quy ước lợi suất và phương pháp định giá.

Hiệu ứng độ lồi làm thay đổi giá thêm

Kết quả này biểu thị phần đóng góp bậc hai vào tỷ lệ thay đổi giá, tính tại chính biên độ Δy đã nhập. Công cụ hiển thị bốn chữ số sau dấu thập phân và thêm dấu “+” khi kết quả dương.

Ví dụ, kết quả +0.2500% có nghĩa là thành phần độ lồi đóng góp thêm 0.25% so với giá cơ sở vào phép xấp xỉ biến động giá. Đây không phải toàn bộ mức thay đổi giá trái phiếu, vì chưa bao gồm thành phần duration.

Mục đích và lợi ích

Nhận diện phần rủi ro mà duration chưa phản ánh đầy đủ

Duration mô tả độ nhạy bậc nhất của giá với lợi suất. Convexity cho biết độ nhạy đó thay đổi như thế nào khi lợi suất dịch chuyển. Kết hợp hai khái niệm giúp người phân tích hiểu rõ hơn tính bất đối xứng giữa kịch bản giá tăng và giá giảm.

Với trái phiếu có độ lồi dương, thành phần bậc hai thường làm mức tăng giá lớn hơn dự báo tuyến tính khi lợi suất giảm, đồng thời làm mức giảm giá nhỏ hơn dự báo tuyến tính khi lợi suất tăng, trong phạm vi mà phép xấp xỉ còn phù hợp.

Rút ngắn phép tính và giảm lỗi thao tác

So với tính thủ công, công cụ tự thực hiện các bước chuyển phần trăm sang số thập phân, bình phương biên độ lợi suất, chuẩn hóa theo giá hiện tại và định dạng kết quả. Người dùng không cần lặp lại công thức mỗi lần thay bộ dữ liệu.

Lợi ích rõ nhất là giảm những lỗi như dùng 1 thay cho 0.01 trong mẫu số, bỏ sót hệ số 0.5 khi tính hiệu ứng giá hoặc nhầm chiều của P₋ và P₊.

Hỗ trợ so sánh và kiểm tra kịch bản

Công cụ có thể được dùng để đối chiếu độ lồi giữa các trái phiếu hoặc kiểm tra kết quả từ bảng tính. Tuy nhiên, so sánh chỉ thực sự hữu ích khi các bộ dữ liệu được xây dựng theo cùng phương pháp: cùng loại cú dịch chuyển lợi suất, cùng quy ước giá và các giả định định giá tương thích.

Tốc độ tính toán không đồng nghĩa với độ chính xác tuyệt đối. Độ tin cậy cuối cùng phụ thuộc vào chất lượng ba mức giá đầu vào, biên độ Δy và mức độ phù hợp của phép xấp xỉ bậc hai.

Các tính năng nổi bật

• Tính độ lồi gần đúng từ ba mức giá: không yêu cầu nhập trực tiếp coupon, kỳ hạn hoặc lịch dòng tiền.
• Tính phần điều chỉnh giá do độ lồi: chuyển kết quả sang tỷ lệ phần trăm để dễ diễn giải.
• Tự quy đổi đơn vị lợi suất: chia giá trị % đầu vào cho 100 trước khi tính toán.
• Hỗ trợ độ lồi dương, bằng 0 và âm: kết quả âm không bị coi là lỗi chỉ vì mang dấu âm.
• Kiểm tra dữ liệu đầu vào: từ chối trường trống, dữ liệu không đọc được thành số và giá trị không lớn hơn 0.
• Kiểm tra kết quả toán học: thông báo lỗi nếu độ lồi tính được không phải số hữu hạn.
• Hiển thị trạng thái: phân biệt trạng thái chờ nhập liệu, thiếu thông số, lỗi toán học và tính toán thành công.
• Hỗ trợ phím Enter: có thể kích hoạt phép tính từ các ô nhập.
• Làm mới dữ liệu: xóa ba mức giá, đưa Δy về 1 và đưa kết quả về trạng thái ban đầu.
• Giao diện thích ứng: bố cục hai cột trên màn hình từ 768 px và xếp dọc trên màn hình nhỏ hơn.

Công cụ hiện có một phương pháp tính duy nhất: ước lượng độ lồi bằng sai phân trung tâm. Không có chế độ định giá trái phiếu tự động, tính duration hay mô phỏng nhiều kịch bản đồng thời.

Trong phần mã được cung cấp, phép tính được thực hiện bằng JavaScript tại trình duyệt, không cần gửi dữ liệu đầu vào đến máy chủ để xử lý công thức.

Đối tượng sử dụng

Nhà đầu tư trái phiếu

Phù hợp với người muốn tìm hiểu thêm về độ nhạy giá trước biến động lợi suất, đặc biệt khi đã có các mức giá dự kiến từ báo cáo phân tích hoặc mô hình định giá riêng.

Chuyên viên phân tích và quản trị rủi ro

Chuyên viên thu nhập cố định, quản lý danh mục, bộ phận ngân quỹ và quản trị rủi ro thị trường có thể dùng công cụ để kiểm tra nhanh độ lồi của từng trái phiếu hoặc đối chiếu kết quả tính toán.

Đối với danh mục nhiều tài sản, công cụ này cung cấp chỉ tiêu ở cấp dữ liệu được nhập, không tự thực hiện tổng hợp độ lồi danh mục theo trọng số.

Sinh viên, giảng viên và người học tài chính

Công cụ hỗ trợ minh họa các chủ đề như quan hệ giá – lợi suất, duration, convexity và phép xấp xỉ Taylor trong định giá tài sản thu nhập cố định.

Người dùng không cần biết lập trình, nhưng nên hiểu khái niệm lợi suất, điểm cơ bản và giá trái phiếu. Kiến thức này đặc biệt quan trọng khi chuẩn bị hai mức giá kịch bản có biên độ lợi suất đối xứng.

Nguyên lý hoạt động và công thức

Công thức độ lồi gần đúng

C ≈ (P₋ + P₊ − 2 × P₀) ÷ (P₀ × Δy²)

Trong đó C là độ lồi gần đúng, còn Δy phải ở dạng thập phân. Công thức xuất phát từ phép sai phân trung tâm để ước lượng đạo hàm bậc hai của giá theo lợi suất:

P″(y) ≈ [P(y − Δy) + P(y + Δy) − 2 × P(y)] ÷ Δy²

Chia đạo hàm bậc hai gần đúng cho P₀ giúp chuẩn hóa chỉ tiêu theo giá. Vì vậy, nếu cả ba mức giá cùng được nhân với một hệ số, độ lồi không thay đổi.

Công thức hiệu ứng giá do độ lồi

Hiệu ứng độ lồi = 0.5 × C × Δy²

Hiệu ứng độ lồi (%) = 0.5 × C × Δy² × 100

Hệ số 0.5 xuất phát từ thành phần bậc hai trong khai triển Taylor. Khi kết hợp với modified duration, công thức xấp xỉ biến động giá thường được viết:

ΔP ÷ P₀ ≈ −D_mod × δy + 0.5 × C × δy²

Ở đây, δy là thay đổi lợi suất có dấu của kịch bản cần đánh giá; D_mod là modified duration. Công cụ chỉ tính C và thành phần độ lồi tại biên độ Δy đầu vào, không tính phần duration hay tổng ΔP ÷ P₀.

Trình tự xử lý của thuật toán

1. Đọc dữ liệu: chuyển giá trị của bốn ô nhập thành số.
2. Kiểm tra điều kiện: cả ba giá và biên độ lợi suất đều phải lớn hơn 0.
3. Quy đổi lợi suất: tính Δy = giá trị nhập ÷ 100.
4. Tính độ lồi: áp dụng công thức sai phân trung tâm.
5. Kiểm tra tính hữu hạn: dừng và báo lỗi nếu kết quả không hữu hạn.
6. Tính hiệu ứng giá: nhân độ lồi với 0.5 × Δy² rồi đổi sang %.
7. Hiển thị: làm tròn độ lồi đến ba chữ số thập phân, hiệu ứng giá đến bốn chữ số thập phân và cập nhật trạng thái thành công.

Phần hiệu ứng giá được tính từ độ lồi chưa làm tròn; việc làm tròn chỉ phục vụ hiển thị.

Một quan hệ hữu ích giữa hai kết quả

Vì công cụ dùng cùng Δy để tính độ lồi và hiệu ứng giá, có thể rút gọn:

Hiệu ứng độ lồi = (P₋ + P₊ − 2 × P₀) ÷ (2 × P₀)

Nói cách khác, đây là mức chênh lệch tương đối giữa giá trung bình của hai kịch bản và giá cơ sở. Nếu giữ nguyên ba giá nhưng thay đổi Δy, độ lồi sẽ thay đổi, còn hiệu ứng giá tính theo biểu thức trên không đổi. Tuy nhiên, về mặt kinh tế, hai giá kịch bản phải được định giá lại khi biên độ lợi suất thay đổi.

Ví dụ thực tế

Kịch bản độ lồi dương

Giả sử một trái phiếu có giá hiện tại 1,000 đơn vị tiền tệ. Mô hình định giá cho biết giá tăng lên 1,020 khi lợi suất giảm 100 điểm cơ bản và giảm xuống 985 khi lợi suất tăng 100 điểm cơ bản.

C = (1,020 + 985 − 2 × 1,000) ÷ (1,000 × 0.01²) = 50

Hiệu ứng độ lồi = 0.5 × 50 × 0.01² × 100 = 0.25%

Kết quả hiển thị là 50.000 và +0.2500%.

Trong hai kịch bản, giá thực tế tăng 2% khi lợi suất giảm và giảm 1.5% khi lợi suất tăng. Giá trung bình là 1,002.5, cao hơn giá cơ sở 2.5 đơn vị, tương đương 0.25%.

Để minh họa sự kết hợp với duration, từ cùng bộ giá có thể ước lượng riêng duration theo sai phân là 1.75. Thành phần tuyến tính tương ứng là +1.75% hoặc −1.75%; cộng thêm +0.25% từ độ lồi cho ra +2% và −1.5%. Phép tính duration này chỉ phục vụ giải thích, không phải đầu ra của công cụ.

Kịch bản độ lồi âm

Giả sử P₀ = 1,000, P₋ = 1,010, P₊ = 985 và Δy = 1%:

C = (1,010 + 985 − 2,000) ÷ (1,000 × 0.01²) = −50

Hiệu ứng độ lồi = −0.2500%

Giá tăng 1% ở kịch bản lợi suất giảm nhưng giảm 1.5% ở kịch bản lợi suất tăng. Cấu trúc này thể hiện độ lồi âm tại vùng đang xét. Một số trái phiếu có quyền mua lại hoặc tài sản có dòng tiền phụ thuộc vào hành vi trả trước có thể xuất hiện đặc điểm như vậy.

Kết quả âm không tự động khẳng định loại trái phiếu; trước hết vẫn cần kiểm tra tính nhất quán của giá và giả định định giá.

Những thông tin thú vị xung quanh chủ đề này

Độ lồi dương không có nghĩa là giá luôn tăng

Thành phần độ lồi dương đóng góp thuận lợi vào phép xấp xỉ, nhưng khi lợi suất tăng, phần giảm giá do duration vẫn có thể lớn hơn nhiều. Vì vậy, trái phiếu có độ lồi dương vẫn có thể giảm giá đáng kể.

Độ lồi thường có giá trị, nhưng không phải lợi ích miễn phí

Khi các yếu tố khác tương đương, độ lồi dương cao hơn thường hấp dẫn vì tạo tính bất đối xứng thuận lợi giữa tăng giá và giảm giá. Tuy nhiên, thị trường có thể phản ánh lợi thế này vào giá cao hơn hoặc lợi suất thấp hơn. Không nên lựa chọn trái phiếu chỉ dựa trên convexity.

Độ lồi gần đúng và độ lồi hiệu dụng có liên hệ với nhau

Công thức ba mức giá cũng thường được dùng để ước lượng độ lồi hiệu dụng khi hai giá kịch bản được định giá lại theo thay đổi đường cong lợi suất và cho phép dòng tiền phụ thuộc quyền chọn thay đổi. Vì công cụ chỉ nhận giá, cách diễn giải kết quả phụ thuộc vào cách tạo ra P₋ và P₊.

Biên độ nhỏ không phải lúc nào cũng tốt hơn

Δy nhỏ giúp phép sai phân phản ánh độ cong cục bộ tốt hơn trong điều kiện lý tưởng. Nhưng nếu giá đầu vào bị làm tròn, sai số nhỏ ở giá có thể bị khuếch đại khi chia cho Δy². Ngược lại, biên độ lớn có thể chịu ảnh hưởng nhiều hơn từ các thành phần phi tuyến bậc cao.

Quyền mua lại có thể làm thay đổi hình dạng đường cong

Khi lợi suất giảm, tổ chức phát hành có thể có động lực mua lại trái phiếu để tái cấp vốn với chi phí thấp hơn. Khả năng này có thể hạn chế mức tăng giá của trái phiếu và tạo vùng độ lồi âm.

Những câu hỏi thường gặp

Công cụ có tự tính giá khi lợi suất tăng hoặc giảm không?

Không. P₀, P₋ và P₊ đều là dữ liệu đầu vào. Người dùng cần lấy các mức giá từ mô hình định giá hoặc nguồn phân tích phù hợp.

Nếu lợi suất thay đổi 50 điểm cơ bản thì nhập bao nhiêu?

Nhập 0.5, vì 50 điểm cơ bản bằng 0.5 điểm phần trăm. Thuật toán sẽ chuyển thành 0.005 để tính.

Có thể sử dụng giá trên 100 mệnh giá thay cho giá bằng tiền không?

Có, miễn là cả ba giá cùng một cơ sở. Ví dụ 100, 102 và 98.5 cho cùng độ lồi với 1,000, 1,020 và 985 nếu Δy giống nhau.

Nên dùng giá sạch hay giá bẩn?

Với phân tích độ nhạy giá trị đầy đủ, giá bẩn thường là cơ sở phù hợp hơn vì bao gồm lãi tích lũy. Dù chọn quy ước nào, cả ba giá phải nhất quán, cùng ngày định giá và cùng cơ sở thanh toán. Công cụ không tự chuyển đổi giữa giá sạch và giá bẩn.

Độ lồi 50 có nghĩa là giá sẽ thay đổi 50% không?

Không. Với độ lồi 50 và Δy = 1%, phần điều chỉnh bậc hai là 0.5 × 50 × 0.01² = 0.25%. Muốn ước lượng toàn bộ thay đổi giá còn cần thành phần duration.

Công cụ có bắt buộc P₋ lớn hơn P₀ và P₊ nhỏ hơn P₀ không?

Không. Thuật toán kiểm tra các giá có phải số lớn hơn 0 hay không, nhưng không bắt buộc thứ tự giá. Quan hệ thông thường giữa giá và lợi suất được trình bày như thông tin tham khảo; người dùng vẫn cần kiểm tra ý nghĩa kinh tế của dữ liệu.

Tại sao Δy bằng 0 không được chấp nhận?

Vì công thức chia cho Δy². Khi Δy bằng 0, mẫu số bằng 0 và không thể ước lượng độ lồi bằng phương pháp này.

Có thể dùng độ lồi vừa tính để dự báo một cú sốc lợi suất lớn hơn không?

Có thể dùng trong phép xấp xỉ duration – convexity, nhưng cần thận trọng. Độ lồi được ước lượng quanh vùng lợi suất của dữ liệu ban đầu; với cú sốc lớn, quyền chọn hoặc thay đổi dòng tiền, độ cong có thể thay đổi. Định giá lại theo kịch bản sẽ phù hợp hơn khi cần đánh giá chính xác.

Chỉ nhìn độ lồi có đủ để đánh giá rủi ro trái phiếu không?

Không. Độ lồi chỉ phản ánh một khía cạnh của độ nhạy giá với lợi suất. Phân tích đầy đủ còn cần xem xét duration, rủi ro tín dụng, chênh lệch lợi suất, thanh khoản, cấu trúc quyền chọn và đặc điểm dòng tiền.