Tính lợi suất đáo hạn trái phiếu (YTM) – Bond Yield to Maturity Calculator

Giới thiệu về Tính lợi suất đáo hạn trái phiếu (YTM) – Bond Yield to Maturity Calculator

Tính lợi suất đáo hạn trái phiếu (YTM) – Bond Yield to Maturity Calculator là công cụ tính toán lợi suất của trái phiếu dựa trên mệnh giá, lãi suất coupon, giá mua hiện tại, thời gian còn lại đến đáo hạn và tần suất trả lãi. Công cụ giúp xác định mức lợi suất tương ứng với toàn bộ dòng tiền dự kiến khi nhà đầu tư nắm giữ trái phiếu đến ngày đáo hạn.

Điểm quan trọng là lãi suất coupon không nhất thiết bằng lợi suất của người mua trái phiếu. Một trái phiếu trả coupon 5% mỗi năm có thể đem lại YTM cao hơn 5% nếu được mua thấp hơn mệnh giá. Ngược lại, khi mua cao hơn mệnh giá, YTM thường thấp hơn lãi suất coupon.

Để phản ánh khác biệt này, công cụ hiển thị đồng thời ba chỉ số: YTM giải bằng phương pháp số, YTM xấp xỉ và lợi suất hiện tại. Nhờ đó, người dùng có thể phân biệt thu nhập từ coupon với lợi suất có tính đến khoản chênh lệch giữa giá mua và số tiền nhận lại khi đáo hạn.

Việc tính YTM bằng tay thường phải thử nhiều mức lợi suất rồi so sánh giá trị hiện tại của dòng tiền với giá trái phiếu. Công cụ tự động hóa quá trình này bằng thuật toán chia đôi, phù hợp cho việc phân tích nhanh các trái phiếu có coupon cố định, trả lãi đều và hoàn trả mệnh giá một lần tại ngày đáo hạn.

Lưu ý về ý nghĩa tài chính: YTM là lợi suất hàm ý từ giá và dòng tiền theo giả định, không phải cam kết về mức sinh lời thực nhận. Kết quả không tự động phản ánh thuế, phí, lạm phát, rủi ro vỡ nợ hay điều khoản mua lại trước hạn.

Giải thích các thuật ngữ và thông số

Mệnh giá — Face/Par Value

Mệnh giá là số tiền gốc mà tổ chức phát hành dự kiến hoàn trả khi trái phiếu đáo hạn. Đây cũng là cơ sở tính khoản coupon trong mô hình của công cụ.

• Ký hiệu: F.
• Đơn vị: đơn vị tiền tệ, chẳng hạn VND hoặc USD.
• Giá trị hợp lệ: số lớn hơn 0.
• Giá trị mặc định: 1.000.

Công cụ không có lựa chọn loại tiền tệ. Vì vậy, mệnh giá và giá hiện tại phải được nhập theo cùng một đơn vị. Có thể dùng đồng, nghìn đồng hoặc triệu đồng, miễn là nhất quán giữa hai trường.

Lãi suất cuống phiếu — Coupon rate

Lãi suất coupon, còn được gọi là lãi suất cuống phiếu, xác định số tiền lãi hằng năm tính trên mệnh giá. Đây không phải lãi suất tính trên số tiền thực tế bỏ ra để mua trái phiếu.

• Đơn vị nhập: %/năm; nhập 5 để biểu thị 5%, không nhập 0,05.
• Giá trị hợp lệ: số lớn hơn hoặc bằng 0.
• Giá trị mặc định: 5%/năm.
• Trường hợp đặc biệt: coupon bằng 0 tương ứng với trái phiếu không trả lãi định kỳ.

Công thức tính tổng coupon một năm:

C = F × c ÷ 100

Trong đó c là giá trị phần trăm được nhập. Với mệnh giá 1.000 và coupon 5%, tiền lãi một năm là 50 đơn vị tiền tệ.

Giá hiện tại — Current Price

Giá hiện tại là mức giá mua được dùng để tính lợi suất. Trong phương trình YTM, đây là số tiền phải bằng tổng giá trị hiện tại của các coupon và khoản hoàn trả gốc.

• Ký hiệu: P.
• Đơn vị: cùng đơn vị tiền tệ với mệnh giá.
• Giá trị hợp lệ: số lớn hơn 0.
• Giá trị mặc định: 920.

Trường này nhận giá trị tiền, không phải tỷ lệ phần trăm mệnh giá. Chẳng hạn, nếu trái phiếu mệnh giá 1.000 được báo giá ở mức 92% mệnh giá, giá tương ứng trong mô hình là 920.

Công cụ không tách riêng giá sạch và lãi tích lũy. Với giao dịch giữa hai ngày trả coupon, cần lưu ý rằng tổng tiền thanh toán có thể khác mức giá niêm yết.

Số năm đến khi đáo hạn

Đây là thời gian còn lại từ thời điểm định giá đến ngày hoàn trả gốc, không nhất thiết là kỳ hạn ban đầu của trái phiếu.

• Ký hiệu: T.
• Đơn vị: năm.
• Giá trị mặc định: 5 năm.
• Giới hạn khai báo trên ô nhập: từ 1 đến 100 năm.
• Điều kiện kiểm tra trong hàm tính: giá trị phải là số lớn hơn 0.

Mô hình dùng số kỳ trả lãi N = T × m. Để dòng tiền khớp với giả định trả lãi đều, T × m cần là số nguyên, đồng thời thời điểm định giá cần phù hợp với lịch coupon được mô hình hóa. Công cụ không định giá theo ngày cụ thể hoặc theo quy ước đếm ngày của thị trường.

Tần suất trả lãi

Tần suất trả lãi là số lần nhận coupon trong một năm, ký hiệu m. Công cụ cung cấp bốn lựa chọn:

• Hằng năm: m = 1.
• Bán niên: m = 2, là lựa chọn mặc định.
• Hằng quý: m = 4.
• Hằng tháng: m = 12.

Tần suất ảnh hưởng đến cả số tiền coupon mỗi kỳ và số kỳ chiết khấu:

Coupon mỗi kỳ = C ÷ m
Tổng số kỳ = T × m

Ví dụ, tổng coupon năm là 50 và trả lãi bán niên thì mỗi kỳ nhận 25. Trong 5 năm, mô hình có 10 kỳ trả lãi.

Lợi suất đáo hạn — YTM

YTM là mức lợi suất làm cho tổng giá trị hiện tại của các dòng tiền dự kiến bằng giá mua trái phiếu. Chỉ số này tính đến cả coupon định kỳ và chênh lệch giữa mệnh giá với giá mua.

Công cụ tìm lợi suất mỗi kỳ r, sau đó quy đổi:

YTM năm danh nghĩa = r × m

Kết quả được hiển thị theo %/năm với ba chữ số thập phân. Đây là lợi suất năm danh nghĩa theo tần suất coupon, không phải lợi suất năm hiệu dụng và cũng không phải lợi suất đã điều chỉnh lạm phát.

YTM xấp xỉ — Approximate YTM

YTM xấp xỉ ước lượng lợi suất bằng cách cộng coupon hằng năm với phần chênh lệch giá phân bổ bình quân mỗi năm, rồi chia cho mức vốn bình quân:

YTM xấp xỉ = [C + (F − P) ÷ T] ÷ [(F + P) ÷ 2]

Chỉ số này hữu ích để kiểm tra nhanh quy mô lợi suất, nhưng không chiết khấu từng dòng tiền theo thời điểm nhận. Công thức xấp xỉ cũng không dùng trực tiếp tần suất trả lãi.

Lợi suất hiện tại — Current Yield

Lợi suất hiện tại = C ÷ P

Chỉ số này cho biết tổng coupon một năm bằng bao nhiêu phần trăm giá mua. Nó không tính khoản lãi hoặc lỗ do mua trái phiếu khác mệnh giá, không phản ánh thời gian đến đáo hạn và không xét giá trị thời gian của tiền.

Mối quan hệ giữa các thông số

• Giá mua bằng mệnh giá: với dòng tiền đều theo mô hình, YTM năm danh nghĩa bằng lãi suất coupon.
• Giá mua thấp hơn mệnh giá: YTM thường cao hơn coupon vì nhà đầu tư còn nhận phần chênh lệch khi được hoàn trả gốc.
• Giá mua cao hơn mệnh giá: YTM thường thấp hơn coupon vì khoản chênh lệch giá làm giảm lợi suất tổng thể.
• Giữ nguyên dòng tiền: giá trái phiếu càng cao thì YTM càng thấp, và ngược lại.
• Thay đổi kỳ hạn: tác động của chênh lệch giá lên lợi suất phụ thuộc vào thời gian còn lại để khoản chênh lệch đó được hiện thực hóa.

Mục đích và lợi ích

Đánh giá lợi suất thay vì chỉ nhìn coupon

Một trái phiếu có coupon cao chưa chắc hấp dẫn hơn trái phiếu có coupon thấp. Nếu giá mua quá cao, phần thu nhập coupon có thể bị bù trừ bởi khoản giảm từ giá mua xuống mệnh giá lúc đáo hạn. Công cụ tính YTM giúp đặt các dòng tiền vào cùng một mô hình để đánh giá rõ hơn.

So sánh các mức giá mua

Với cùng một trái phiếu, người dùng có thể phân tích YTM tại nhiều mức giá để xem giá chào bán ảnh hưởng thế nào đến lợi suất. Đây là cơ sở tham khảo khi cân nhắc mức giá phù hợp với mục tiêu đầu tư.

Khi so sánh các trái phiếu khác nhau, cần xét thêm chất lượng tín dụng, kỳ hạn, thanh khoản, đồng tiền và điều khoản phát hành. YTM cao hơn không tự động đồng nghĩa với khoản đầu tư tốt hơn.

Giảm công sức tính thủ công

Cách làm thủ công thường bắt đầu bằng một mức lợi suất thử, chiết khấu từng coupon và tiền gốc, rồi điều chỉnh lợi suất cho đến khi giá tính được gần bằng giá mua. Với trái phiếu trả lãi hằng tháng trong nhiều năm, số dòng tiền cần xử lý có thể rất lớn.

Công cụ thực hiện các phép tính này trực tiếp trong trình duyệt. Người dùng nhận đồng thời ba chỉ số mà không cần lập bảng chiết khấu riêng.

Độ chính xác gắn với mô hình rõ ràng

Thuật toán tìm nghiệm sử dụng tối đa 100 vòng lặp, với điều kiện dừng khi chênh lệch giá nhỏ hơn 0,0001 đơn vị tiền tệ nhập vào. So với công thức xấp xỉ, cách này phản ánh thời điểm của từng khoản thanh toán tốt hơn.

Tuy nhiên, độ chính xác số học không thay thế độ chính xác của dữ liệu và giả định. Nếu giá mua, lịch trả lãi hoặc điều khoản hoàn trả không phù hợp với mô hình, kết quả vẫn có thể khác lợi suất của giao dịch thực tế.

Các tính năng nổi bật

• Ba kết quả trong một lần tính: YTM theo phương pháp số, YTM xấp xỉ và lợi suất hiện tại.
• Bốn tần suất coupon: hằng năm, bán niên, hằng quý và hằng tháng.
• Tìm nghiệm bằng phương pháp chia đôi: tự động xác định lợi suất mỗi kỳ từ phương trình giá trái phiếu.
• Chấp nhận coupon bằng 0: có thể phân tích trái phiếu không trả lãi định kỳ trong phạm vi lợi suất mà thuật toán tìm kiếm.
• Tính sẵn khi trang tải: bộ thông số mặc định được xử lý ngay để hiển thị một tình huống minh họa.
• Nhiều cách kích hoạt phép tính: nút tính toán, phím Enter tại các ô số và thay đổi tần suất trả lãi.
• Làm mới về dữ liệu mặc định: khôi phục mệnh giá 1.000, coupon 5%, giá 920, kỳ hạn 5 năm và trả lãi bán niên; đồng thời đặt lại kết quả về trạng thái chờ.
• Kiểm tra dữ liệu cơ bản: mệnh giá, giá mua và thời gian phải dương; coupon không được âm. Khi dữ liệu không hợp lệ, vùng kết quả được làm mờ và trạng thái báo “Thiếu thông số”.
• Giao diện thích ứng: bố cục chuyển từ xếp dọc sang hai cột khi màn hình đạt chiều rộng 768 px, với YTM được hiển thị nổi bật.

Phần tính toán được cung cấp chạy bằng JavaScript phía trình duyệt và không có thao tác gửi các thông số trái phiếu đến máy chủ trong đoạn mã này.

Phạm vi xử lý: thuật toán tìm lợi suất mỗi kỳ trong khoảng từ 0 đến 1, tương đương 0% đến 100% mỗi kỳ. Vì vậy, kết quả cần được diễn giải trong phạm vi lợi suất không âm và có nghiệm nằm trong khoảng tìm kiếm này.

Đối tượng sử dụng

Nhà đầu tư cá nhân

Công cụ phù hợp với người muốn hiểu sự khác nhau giữa coupon và lợi suất mua trái phiếu, hoặc đánh giá tác động của mức giá chiết khấu và mức giá cao hơn mệnh giá. Kiến thức cơ bản về mệnh giá, coupon và kỳ hạn là đủ để đọc các kết quả chính.

Chuyên viên tài chính và tư vấn đầu tư

Chuyên viên có thể dùng công cụ để kiểm tra nhanh một tình huống giá, minh họa lợi suất cho khách hàng hoặc đối chiếu với bảng tính nội bộ. Với giao dịch có lãi tích lũy, ngày thanh toán cụ thể hay điều khoản phức tạp, cần kết hợp mô hình định giá chuyên biệt.

Sinh viên, giảng viên và người học tài chính

Ba chỉ số hiển thị song song giúp minh họa trực quan các khái niệm trong học phần đầu tư, thị trường tài chính và định giá chứng khoán nợ. Người học có thể quan sát vì sao cùng một coupon nhưng giá mua khác nhau lại tạo ra YTM khác nhau.

Bộ phận ngân quỹ và quản lý danh mục

Trong các tình huống trái phiếu coupon cố định đơn giản, công cụ hỗ trợ tham khảo lợi suất khi đánh giá phương án phân bổ vốn. Kết quả nên được đặt cạnh các yếu tố như rủi ro tín dụng, nhu cầu thanh khoản, giới hạn đầu tư và nghĩa vụ dòng tiền.

Nguyên lý hoạt động và công thức

1. Chuyển thông số thành dòng tiền

Từ dữ liệu đầu vào, công cụ xác định:

• Coupon hằng năm: C = F × c ÷ 100.
• Coupon mỗi kỳ: A = C ÷ m.
• Số kỳ trả lãi: N = T × m.

Mô hình giả định mỗi kỳ nhận một khoản coupon A bằng nhau. Tại kỳ cuối, nhà đầu tư nhận thêm mệnh giá F.

2. Tính giá trị hiện tại của trái phiếu

Với lợi suất mỗi kỳ r, giá lý thuyết được tính bằng:

P(r) = Σ từ k = 1 đến N [A ÷ (1 + r)^k] + F ÷ (1 + r)^N

Mỗi coupon được chiết khấu theo số kỳ còn lại đến lúc nhận. Khoản gốc được chiết khấu đến kỳ đáo hạn. Hàm tính giá trong công cụ cộng lần lượt các coupon đã chiết khấu, sau đó cộng giá trị hiện tại của mệnh giá.

Đối với dòng tiền không âm của mô hình này, P(r) giảm khi r tăng. Tính chất đó là cơ sở để tìm nghiệm bằng phương pháp chia đôi.

3. Tìm lợi suất bằng Bisection Method

Mục tiêu là tìm r sao cho:

P(r) = P thị trường

Thuật toán bắt đầu với cận dưới 0 và cận trên 1 cho lợi suất mỗi kỳ. Tại mỗi vòng lặp:

1. Lấy trung điểm: r = (cận dưới + cận trên) ÷ 2.
2. Tính giá trái phiếu theo mức r này.
3. Nếu giá tính được cao hơn giá mua, tăng cận dưới lên r vì cần lợi suất cao hơn để làm giá giảm.
4. Nếu giá tính được thấp hơn giá mua, giảm cận trên xuống r.
5. Dừng nếu sai lệch giá nhỏ hơn 0,0001 hoặc đã thực hiện đủ 100 vòng lặp.

Đây là nghiệm số của phương trình định giá, không phải kết quả từ công thức YTM xấp xỉ. Với trái phiếu nhiều kỳ, tìm nghiệm số thường thuận tiện hơn việc tìm một biểu thức đại số trực tiếp; một số trường hợp đơn giản, như trái phiếu không coupon, có thể có công thức riêng.

Điều kiện quan trọng là nghiệm phải nằm trong khoảng tìm kiếm. Trạng thái “Tính toán thành công” của giao diện không phải kiểm chứng độc lập rằng mọi bộ dữ liệu đều có nghiệm phù hợp trong khoảng đó.

4. Quy đổi lợi suất và tính hai chỉ số bổ sung

Sau khi có r, công cụ tính:

YTM năm danh nghĩa = r × m
YTM xấp xỉ = [C + (F − P) ÷ T] ÷ [(F + P) ÷ 2]
Current Yield = C ÷ P

Cả ba kết quả được nhân với 100 để chuyển sang phần trăm và hiển thị với ba chữ số thập phân.

Nếu cần quy đổi sang lợi suất năm hiệu dụng theo cùng giả định ghép lãi, công thức là:

Lợi suất năm hiệu dụng = (1 + r)^m − 1

Đây là công thức đối chiếu về mặt tài chính; giao diện hiện tại không hiển thị chỉ số này.

Ví dụ thực tế

Trái phiếu coupon 5% được mua dưới mệnh giá

Giả sử một nhà đầu tư đang xem xét trái phiếu có thông số giống bộ dữ liệu mặc định của công cụ:

Dòng tiền tương ứng gồm coupon hằng năm 50, coupon mỗi kỳ 25 và tổng cộng 10 kỳ. Tại kỳ cuối, nhà đầu tư nhận 25 tiền coupon cùng 1.000 tiền gốc.

Kết quả tính toán, làm tròn theo cách hiển thị của công cụ:

• YTM: khoảng 6,920%/năm.
• YTM xấp xỉ: 6,875%/năm.
• Lợi suất hiện tại: 5,435%/năm.

Hai chỉ số đơn giản được tính như sau:

YTM xấp xỉ = [50 + (1.000 − 920) ÷ 5] ÷ [(1.000 + 920) ÷ 2] = 66 ÷ 960 = 6,875%

Current Yield = 50 ÷ 920 ≈ 5,435%

YTM cao hơn lợi suất hiện tại vì ngoài coupon, nhà đầu tư còn được hoàn trả 1.000 trong khi chỉ bỏ ra 920 ban đầu. Khoản chênh lệch 80 được phản ánh trong YTM cùng với thời điểm nhận từng dòng tiền.

Lợi suất mỗi kỳ bán niên tìm được xấp xỉ 3,460%. Nếu quy đổi theo ghép lãi, lợi suất năm hiệu dụng tương ứng khoảng 7,040%, khác với YTM năm danh nghĩa 6,920% hiển thị trên công cụ.

Đối chiếu khi giá mua bằng mệnh giá

Nếu giữ nguyên coupon 5%, kỳ hạn 5 năm và trả lãi bán niên nhưng giá mua là 1.000, ba kết quả sẽ cùng xấp xỉ 5,000%/năm.

Trong trường hợp này, không có lãi hoặc lỗ do chênh lệch giữa giá mua và mệnh giá. Ví dụ cho thấy sự khác biệt giữa ba chỉ số chủ yếu xuất hiện khi giá mua khác mệnh giá và khi cần xét thời điểm của dòng tiền.

Những thông tin thú vị xung quanh chủ đề này

YTM có thể được hiểu là IRR của dòng tiền trái phiếu

Về bản chất, lợi suất mỗi kỳ được tìm từ phương trình giá là tỷ suất hoàn vốn nội bộ — IRR của dòng tiền: chi tiền mua tại thời điểm ban đầu, nhận coupon trong các kỳ tiếp theo và nhận gốc khi đáo hạn. Công cụ sau đó nhân lợi suất mỗi kỳ với số kỳ trong năm để biểu diễn YTM năm danh nghĩa.

Giá trái phiếu và lợi suất chuyển động ngược chiều

Khi dòng tiền đã cố định, mức lợi suất yêu cầu cao hơn khiến giá trị hiện tại thấp hơn. Đây là lý do giá trái phiếu thường chịu áp lực giảm khi lợi suất thị trường tăng, dù coupon của trái phiếu không thay đổi.

Trái phiếu không coupon vẫn có lợi suất

Không nhận lãi định kỳ không có nghĩa là không có lợi suất. Với trái phiếu không coupon được mua thấp hơn mệnh giá, nguồn sinh lời đến từ chênh lệch giữa giá mua và số tiền nhận khi đáo hạn.

Trong mô hình N kỳ, lợi suất mỗi kỳ có thể được viết:

r = (F ÷ P)^1/N − 1

Công cụ vẫn sử dụng phương pháp chia đôi để xử lý trường hợp coupon bằng 0.

YTM không phải trung bình cộng của các khoản lãi

Hai khoản tiền có cùng giá trị nhưng nhận ở hai thời điểm khác nhau không có cùng giá trị hiện tại. YTM đưa yếu tố thời gian vào định giá, trong khi công thức xấp xỉ phân bổ chênh lệch giá đều theo năm để tính nhanh.

Giả định tái đầu tư ảnh hưởng đến lợi suất thực nhận

YTM là tỷ lệ chiết khấu của dòng tiền đã xác định. Để khoản đầu tư thực tế tích lũy đến đáo hạn theo mức lợi suất đó, các coupon thường được giả định có thể tái đầu tư ở cùng mức lợi suất. Nếu lãi suất tái đầu tư thay đổi, kết quả tích lũy thực tế có thể khác dù trái phiếu vẫn trả đúng cam kết.

Những câu hỏi thường gặp

YTM khác gì lãi suất coupon?

Coupon xác định tiền lãi dựa trên mệnh giá. YTM tính theo giá mua và toàn bộ dòng tiền đến đáo hạn, bao gồm coupon và hoàn trả gốc. Vì vậy, hai chỉ số thường khác nhau khi giá mua khác mệnh giá.

YTM được hiển thị có phải lợi suất thực sau lạm phát không?

Không. Công cụ hiển thị YTM năm danh nghĩa theo tần suất coupon. Kết quả chưa trừ lạm phát, thuế hoặc phí giao dịch.

Tại sao YTM và YTM xấp xỉ không giống nhau?

YTM được tìm bằng cách chiết khấu từng dòng tiền. Công thức xấp xỉ dùng coupon năm, chênh lệch giá bình quân mỗi năm và mức vốn bình quân. Sai lệch giữa hai cách phụ thuộc vào mức giá, kỳ hạn, coupon và lịch trả lãi.

Công cụ có tính được YTM âm không?

Không trong khoảng tìm kiếm hiện tại. Thuật toán bắt đầu từ lợi suất mỗi kỳ bằng 0 và không tìm ở vùng âm. Với bộ dòng tiền hàm ý YTM âm, giá trị hiển thị không nên được coi là nghiệm phù hợp.

Có thể dùng cho trái phiếu không coupon không?

Có. Coupon bằng 0 được chấp nhận. Trường hợp phù hợp là dòng tiền hoàn trả gốc tại đáo hạn, với lợi suất nằm trong khoảng tìm kiếm của thuật toán.

Có phù hợp với trái phiếu lãi suất thả nổi hoặc trả gốc từng phần không?

Mô hình được thiết kế cho coupon cố định, thanh toán đều và trả toàn bộ mệnh giá tại kỳ cuối. Trái phiếu lãi suất thả nổi, trả gốc từng phần hoặc có dòng tiền không đều cần mô hình phù hợp với lịch thanh toán thực tế.

Có thể dùng trực tiếp cho trái phiếu giao dịch giữa hai ngày trả lãi không?

Cần thận trọng. Công cụ không có ngày thanh toán, ngày coupon kế tiếp, lãi tích lũy hoặc quy ước đếm ngày. Những yếu tố này có thể làm kết quả định giá thực tế khác mô hình các kỳ đều.

YTM có bảo đảm mức sinh lời khi giữ đến đáo hạn không?

Không. Kết quả dựa trên giả định nhận đầy đủ dòng tiền dự kiến. Rủi ro vỡ nợ, tái cơ cấu, mua lại trước hạn, phí, thuế và mức lãi tái đầu tư có thể làm lợi suất thực nhận khác YTM.

Có thể dùng YTM để đánh giá trường hợp bán trước đáo hạn không?

YTM không phải dự báo lợi suất khi bán sớm. Lợi suất của chiến lược bán trước đáo hạn còn phụ thuộc vào giá bán, coupon đã nhận, thời gian nắm giữ và chi phí giao dịch.

Ba chữ số thập phân có đồng nghĩa với độ chính xác tuyệt đối không?

Không. Đây là độ chi tiết của cách hiển thị. Chất lượng kết quả còn phụ thuộc vào dữ liệu đầu vào, sự phù hợp của mô hình dòng tiền và việc nghiệm có nằm trong khoảng tìm kiếm hay không.