Máy Tính Chu Kỳ Bán Rã & Phân Rã Hạt Nhân (Radioactive Decay)

Máy tính chu kỳ bán rã và phân rã phóng xạ là gì?

Máy tính chu kỳ bán rã và phân rã phóng xạ là công cụ tính toán lượng chất phóng xạ theo mô hình suy giảm hàm mũ. Khi biết ba trong bốn đại lượng gồm lượng ban đầu, lượng còn lại, thời gian phân rã và chu kỳ bán rã, công cụ giúp tìm đại lượng còn thiếu. Đây là công cụ giải toán và minh họa mô hình, không phải thiết bị đo phóng xạ hay hệ thống phân tích mẫu vật.

Về kiến thức nền, chu kỳ bán rã là khoảng thời gian để lượng chất phóng xạ đang xét giảm còn một nửa. Thời gian phân rã là khoảng thời gian đã trôi qua kể từ mốc ban đầu của bài toán. Hai đại lượng này khác nhau: một mẫu có thể được theo dõi trong khoảng thời gian bằng một phần chu kỳ, vài chu kỳ hoặc nhiều chu kỳ.

Công cụ tính trực tiếp bốn mục tiêu, kết quả số kèm đơn vị, lượng đã phân rã, tỷ phần còn lại và đã phân rã, số chu kỳ đã qua, hằng số phân rã λ, thời gian sống trung bình τ, biểu thức thay số và đồ thị suy giảm, kèm nút sao chép và làm mới. Phạm vi này không bao gồm mọi quá trình hạt nhân, hoạt độ hay liều bức xạ. Kết quả chỉ có ý nghĩa khi dữ liệu nhập phù hợp và chất đang xét có thể được mô tả bằng một chu kỳ bán rã không đổi. Nhãn “tuổi vật” trong kết quả không tự biến phép tính thành một phép định tuổi đã được kiểm chứng.

Các thuật ngữ cần hiểu khi tính chu kỳ bán rã

Chu kỳ bán rã T

Chu kỳ bán rã T là thời gian để lượng của chất phóng xạ đang theo dõi giảm còn một nửa trong mô hình. T càng nhỏ thì sự suy giảm càng nhanh khi so sánh trên cùng khoảng thời gian. Đại lượng này không phải tuổi mẫu và cũng không phải thời gian để chất biến mất hoàn toàn. Sau chu kỳ tiếp theo, lượng còn lại lại giảm một nửa so với đầu chu kỳ đó, chứ không giảm thêm một nửa lượng ban đầu.

Hằng số phân rã λ

Hằng số phân rã λ là hệ số tốc độ trong dạng hàm mũ mₜ = m₀ × e^−λt. Theo kiến thức nền, λ = ln(2)/T, nên λ có đơn vị nghịch đảo thời gian, khác với đơn vị thời gian của T. Nếu T tính bằng ngày thì λ tính theo ngày⁻¹. Quan hệ này giúp hiểu hai cách viết tương đương của định luật phân rã; công cụ không có ô nhập hoặc kết quả riêng cho λ.

Tỷ phần còn lại

Tỷ phần còn lại là tỷ số mₜ/m₀, cho biết phần lượng chất vẫn còn so với ban đầu. Nhân tỷ số với 100 sẽ được phần trăm còn lại. Chẳng hạn, tỷ phần 1/4 tương ứng còn 25% và đã phân rã 75% lượng ban đầu. Cần phân biệt tỷ phần này với số phần trăm nhập theo một mốc khác. Hai giá trị phần trăm chỉ đem so sánh trực tiếp được khi chúng dùng chung mốc quy chiếu.

Logarit tự nhiên ln

Logarit tự nhiên ln là logarit cơ số e, được dùng trong phép tìm ngược thời gian hoặc chu kỳ bán rã. Nó giúp chuyển quan hệ chứa số mũ thành quan hệ có thể giải cho đại lượng cần tìm. Tỷ số đưa vào ln phải dương. Điểm đặc biệt là ln(1) = 0: điều này cho thời gian bằng 0 khi hai lượng bằng nhau, nhưng gây mẫu số bằng 0 trong công thức tìm chu kỳ.

Lượng đã phân rã Δm

Lượng đã phân rã Δm là hiệu giữa lượng ban đầu và lượng còn lại của chất đang xét. Nó cho biết bao nhiêu lượng chất ban đầu đã chuyển hóa do phân rã, không phải tổng khối lượng mẫu biến mất hay khối lượng bức xạ phát ra. Nếu hai lượng được nhập bằng phần trăm trên cùng mốc, hiệu của chúng là số điểm phần trăm. Đại lượng này cũng không đồng nghĩa với hoạt độ hoặc liều bức xạ.

Dữ liệu cần nhập và cách đọc kết quả

Ba đại lượng đã biết cho mỗi mục tiêu

Mỗi mục tiêu sử dụng ba đại lượng đã biết; ô dành cho đại lượng cần tìm được ẩn. Bảng dưới đây cho biết dữ liệu cần chuẩn bị và loại đơn vị của kết quả chính.

Thống nhất đơn vị và mốc phần trăm

Đơn vị lượng chất có gram, kg, hạt và %. Hai lượng phải dùng chung đơn vị; không nhập một lượng bằng gram và lượng kia bằng kg. Với phần trăm, cần xác định cùng mốc quy chiếu. Công cụ không tự chuẩn hóa lượng ban đầu thành 100%.

Đơn vị thời gian có năm, ngày, giờ và giây. Thời gian và chu kỳ phải được quy đổi về cùng đơn vị trước khi nhập, vì lựa chọn đơn vị chỉ cung cấp nhãn chung. Ba nút điền nhanh là C-14: 5730 năm, I-131: 8.02 ngày và Po-210: 138 ngày. Bấm một nút sẽ điền cả số chu kỳ lẫn đơn vị thời gian tương ứng, nên không còn phải tự đổi đơn vị cho khớp nhãn gợi ý.

Ý nghĩa các phần kết quả

Thẻ chính trả đại lượng cần tìm. Các ô thống kê bên dưới trả Δm dưới dạng lượng dương đã phân rã, tỷ phần còn lại và đã phân rã, số chu kỳ đã qua, hằng số phân rã λ và thời gian sống trung bình τ. Số được làm tròn để hiển thị không thể hiện độ chính xác đo lường.

Đồ thị gồm đường suy giảm, các mốc chu kỳ và điểm trạng thái tại thời gian đang xét. Đây là hình dựng từ công thức, không phải dữ liệu thực nghiệm. Biểu thức thay số hiển thị bằng chữ thường, không phụ thuộc thư viện trình bày công thức ngoài, nên luôn đọc được ngay trên trang. Đồ thị vẽ lại trực tiếp mỗi khi số liệu đổi.

Công thức và quy tắc tính cho bốn bài toán

Bài toán thuận và phép tìm lượng ban đầu

Công thức tìm lượng còn lại được triển khai là mₜ = m₀ × 2^−t/T. Tỷ số t/T cho biết số chu kỳ đã qua và không cần là số nguyên. Sau n chu kỳ, lượng còn lại bằng m₀/2ⁿ. Nếu khoảng thời gian chỉ bằng một phần chu kỳ, công cụ vẫn tính theo hàm mũ, không làm tròn thành số chu kỳ nguyên.

Để suy ngược lượng ban đầu, công thức là m₀ = mₜ × 2^t/T. Cả hai bài toán này yêu cầu lượng đã biết và chu kỳ dương, còn thời gian được phép bằng 0. Lượng đã phân rã luôn được tính bằng Δm = m₀ − mₜ.

Tìm thời gian hoặc chu kỳ bằng logarit

Khi biết hai lượng và chu kỳ, công cụ tính t = T × ln(m₀/mₜ) / ln(2). Hai lượng phải dương, chu kỳ phải dương và lượng còn lại không được lớn hơn lượng ban đầu. Nếu hai lượng bằng nhau, tỷ số bằng 1 và thời gian tính được bằng 0.

Khi biết hai lượng và thời gian, công thức là T = t × ln(2) / ln(m₀/mₜ). Thời gian phải lớn hơn 0. Để có chu kỳ hữu hạn, cần 0 < mₜ < m₀. Trường hợp hai lượng bằng nhau tạo mẫu số ln(1) = 0, nên không thể nhận được một chu kỳ hữu hạn bằng công thức này.

Điều kiện hợp lệ và định dạng số

Phần kiểm tra chặn lượng còn lại lớn hơn ban đầu trong hai bài toán logarit, chặn luôn trường hợp hai lượng bằng nhau khi tìm T và chặn lượng còn lại bằng 0 khi tìm thời gian hoặc chu kỳ. Dữ liệu không hợp lệ sẽ hiện cảnh báo kèm tên ô cần sửa và ẩn kết quả cũ thay vì hiển thị số vô nghĩa.

Số thông thường có phần thập phân được làm tròn đến tối đa bốn chữ số sau dấu thập phân. Thẻ kết quả và biểu thức thay số dùng chung một quy tắc: ký hiệu khoa học khi số dương nhỏ hơn 0.0001 hoặc lớn hơn 1000000000, với hệ số khoa học bốn chữ số sau dấu thập phân. Riêng λ và τ hiển thị bốn chữ số có nghĩa. Phép tính sử dụng giá trị trước định dạng.

Với dữ liệu hữu hạn hợp lệ, trục thời gian của đồ thị kéo đến giá trị lớn hơn giữa 4T và 1.2t, để bao phủ ít nhất bốn chu kỳ cùng trạng thái đang xét.

Ví dụ tính lượng còn lại, thời gian và chu kỳ bán rã

Các số liệu dưới đây là giả định minh họa. Kết quả được tính theo công thức đã triển khai.

Sau hai chu kỳ còn bao nhiêu chất?

Giả sử lượng ban đầu là 100 gram, chu kỳ bán rã là 5 ngày và thời gian theo dõi là 10 ngày. Số chu kỳ đã qua bằng 10/5 = 2. Vì vậy, lượng còn lại là 100 × 2⁻² = 25 gram; lượng đã phân rã là 100 − 25 = 75 gram.

Trên đồ thị mô hình, trạng thái này nằm tại mốc 2T, ở mức một phần tư lượng ban đầu. Nếu giữ nguyên các giả định nhưng xét t = 0 ngày, lượng còn lại bằng 100 gram và lượng đã phân rã bằng 0.

Suy ngược lượng ban đầu

Giả sử còn 25 gram sau 10 ngày và chu kỳ là 5 ngày. Lượng ban đầu được suy ra bằng 25 × 2^10/5 = 100 gram. Lượng đã phân rã tương ứng là 75 gram. Kết quả này nhất quán với ví dụ thuận vì sử dụng cùng dữ liệu và cùng mô hình.

Tuy nhiên, 100 gram ở đây là giá trị suy ngược, không phải lượng đã được cân tại thời điểm ban đầu. Nếu mẫu có thêm hoặc mất chất do nguyên nhân khác, phép suy ngược này không còn mô tả đầy đủ quá trình.

Ước tính thời gian từ tỷ phần còn lại

Giả sử lượng ban đầu là 100%, lượng còn lại là 25% trên cùng mốc quy chiếu và T = 5730 năm. Tỷ số hai lượng bằng 4, nên ln(4)/ln(2) = 2. Thời gian tính được là 5730 × 2 = 11460 năm.

Hiệu hai lượng là 75 điểm phần trăm, dù thẻ phụ dùng nhãn %. Đây là thời gian theo giả định của mô hình, không phải tuổi khảo cổ đã hiệu chuẩn hoặc một kết luận về mẫu thật.

Xác định chu kỳ từ hai lượng và thời gian

Giả sử lượng chất giảm từ 80 gram xuống 20 gram trong 12 giờ. Tỷ số lượng ban đầu so với lượng còn lại là 4, tương ứng hai chu kỳ. Công thức cho T = 12 × ln(2)/ln(4) = 6 giờ, còn Δm = 80 − 20 = 60 gram. Cách kiểm tra ngược là nhận thấy 12 giờ đúng bằng hai lần chu kỳ vừa suy ra.

Khi nào nên dùng mô hình phân rã này?

Học tập và đối chiếu bài giải

Công cụ phù hợp với bài tập cho sẵn ba đại lượng và yêu cầu tìm đại lượng thứ tư trong mô hình một chất có chu kỳ bán rã không đổi. Trước khi đối chiếu đáp án, cần xác định đúng chất đang theo dõi, mốc thời gian ban đầu và đơn vị. Việc nhập đúng số nhưng sai đơn vị vẫn có thể tạo một kết quả trông hợp lý mà không đúng bài toán.

Một cách dùng hữu ích khác là quan sát quan hệ giữa số chu kỳ và tỷ phần còn lại. Đường cong giúp phân biệt sự suy giảm theo tỷ lệ với sự giảm đều theo lượng. Có thể đối chiếu kết quả tính tay tại các mốc chu kỳ với trạng thái trên đồ thị, nhưng không nên coi độ cao hoặc vị trí đọc bằng mắt là phép đo chính xác hơn kết quả số.

Minh họa nguyên lý định tuổi

Mô hình có thể minh họa nguyên lý suy ra thời gian từ tỷ lệ chất phóng xạ còn lại. Để diễn giải thời gian đó như tuổi mẫu, phải có cơ sở cho lượng ban đầu, chu kỳ thích hợp và giả định rằng hệ không trao đổi chất làm thay đổi tỷ lệ đang xét. Mốc bắt đầu quá trình cũng phải tương ứng với sự kiện cần định tuổi.

Trong thực tế, định tuổi chuyên môn cần dữ liệu đo, đánh giá sai số và những hiệu chỉnh phù hợp với phương pháp. Công cụ không cung cấp các bước đó. Vì vậy, nên dùng nó để hiểu quan hệ toán học hoặc đối chiếu một bài toán đã có giả định rõ ràng, không thay thế quy trình phân tích mẫu hay quyết định an toàn bức xạ.

Phân rã hàm mũ khác giảm tuyến tính như thế nào?

Giảm cùng một lượng và giảm cùng một tỷ lệ

Giảm tuyến tính nghĩa là trong các khoảng thời gian bằng nhau, đại lượng giảm đi một lượng cố định. Ngược lại, phân rã hàm mũ làm giảm theo một tỷ lệ của lượng đang còn. Vì lượng đang còn ngày càng nhỏ, lượng giảm tuyệt đối trong mỗi khoảng thời gian tương ứng cũng nhỏ dần.

Sau một, hai và ba chu kỳ, mô hình phân rã còn lần lượt 1/2, 1/4 và 1/8 lượng ban đầu. Không thể hiểu thành mỗi chu kỳ đều trừ 50% lượng ban đầu, vì cách hiểu đó sẽ cho hết chất sau hai chu kỳ. Do đó, không nên lấy phần đã mất chia đều cho thời gian rồi ngoại suy bằng một tốc độ giảm cố định. Đường cong của công cụ thể hiện quan hệ hàm mũ, không phải một đường thẳng nối hai lượng.

Vì sao không có thời điểm biến mất hoàn toàn?

Trong mô hình lý tưởng với lượng ban đầu dương và chu kỳ hữu hạn dương, hệ số 2^−t/T luôn dương ở mọi thời gian hữu hạn. Lượng còn lại tiến gần 0 nhưng không đạt đúng 0. Đây là tính chất toán học của đường cong liên tục, không phải cam kết rằng thiết bị đo luôn phát hiện được chất.

Với một số lượng hạt hữu hạn, phân rã thực tế còn mang tính ngẫu nhiên; mô hình liên tục không mô tả thời điểm phân rã của từng hạt. Tương tự, kết quả đo “không phát hiện” có thể liên quan ngưỡng đo, nên không tự động tương đương lượng bằng 0 trong công thức.

Giới hạn mô hình và những trường hợp cần thận trọng

Những yếu tố nằm ngoài mô hình

Công cụ mô tả một thành phần suy giảm với T không đổi. Nó không triển khai chuỗi phân rã nhiều đồng vị, sự bổ sung hoặc thất thoát vật chất, sai số đo hay hiệu chuẩn định tuổi. Vì vậy, lượng của chất đang xét không nên bị nhầm với tổng khối lượng của toàn bộ mẫu.

Kết quả cũng không bao gồm hoạt độ, liều bức xạ, năng lượng phát ra hoặc mức an toàn. Ba giá trị chu kỳ điền nhanh là dữ liệu được triển khai; không có nguồn tham chiếu kèm theo để xác minh độ chính xác và mức làm tròn của chúng. Khi cần kết luận chuyên môn, dữ liệu và phương pháp phải được kiểm chứng riêng.

Đầu vào biên và độ tin cậy khi diễn giải

Trường hợp tìm T với hai lượng bằng nhau và thời gian dương sẽ bị chặn bằng cảnh báo, vì phép chia cho mẫu số ln(1) bằng 0 không cho chu kỳ hữu hạn. Giá trị cực lớn hoặc tỷ số thời gian trên chu kỳ quá lớn cũng có thể gây tràn số, hụt số hoặc quá nhiều mốc trên đồ thị. Không có căn cứ để đưa ra một mức tối đa an toàn chung.

Biểu thức thay số và đồ thị của bản hiện tại không dùng thư viện ngoài: biểu thức là chữ thường, đồ thị vẽ bằng mã canvas của chính công cụ. Mọi phép tính chạy ngay trong trình duyệt, không gửi số liệu đi đâu.

Câu hỏi thường gặp

Chọn C-14 hoặc I-131 có tự đổi đơn vị thời gian không?

Có. Bấm nút C-14 sẽ điền 5730 và chuyển đơn vị thời gian sang năm; bấm I-131 sẽ điền 8.02 và chuyển sang ngày. Bạn vẫn cần bảo đảm khoảng thời gian đang xét dùng cùng đơn vị với chu kỳ. Nếu dữ liệu thời gian ban đầu ghi bằng đơn vị khác, hãy quy đổi trước khi nhập. Đổi nhãn từ ngày sang năm mà giữ nguyên các con số không phải phép chuyển đổi đơn vị.

Có thể nhập lượng còn lại bằng 0 để tìm thời gian không?

Không, bài toán tìm thời gian yêu cầu lượng còn lại lớn hơn 0. Công thức chứa tỷ số lượng ban đầu trên lượng còn lại, nên giá trị 0 không phù hợp với phép tính này. Trong mô hình hàm mũ lý tưởng, lượng dương cũng không đạt đúng 0 sau thời gian hữu hạn. Nếu số liệu của bạn là “không phát hiện”, cần biết giới hạn phát hiện của phép đo; không nên tự thay thông tin đó bằng số 0 hoặc một số nhỏ tùy ý.

Nếu lượng ban đầu và lượng còn lại bằng nhau thì tính được t hay T?

Có thể tìm t = 0 khi hai lượng dương bằng nhau và đã biết chu kỳ dương. Nhưng nếu đã có thời gian dương và muốn tìm T, hai lượng bằng nhau không cho một chu kỳ hữu hạn theo công thức đang dùng. Nguyên nhân là logarit của tỷ số bằng 1 có giá trị 0 và nằm ở mẫu số. Bản hiện tại chặn riêng tình huống tìm T này bằng cảnh báo và ẩn kết quả cũ.

Dùng đơn vị phần trăm có bắt buộc đặt lượng ban đầu là 100% không?

Không bắt buộc. Điều quan trọng là hai phần trăm dùng cùng một mốc quy chiếu; công cụ không tự đặt lượng ban đầu thành 100% và không áp trần 100%. Chẳng hạn, nếu hai lượng lần lượt là 80% và 20% của cùng một lượng tham chiếu, tỷ phần còn lại so với ban đầu là 20/80 = 1/4. Hiệu là 60 điểm phần trăm, còn tỷ lệ đã phân rã so với lượng ban đầu là 75%. Hai cách diễn đạt đó có ý nghĩa khác nhau.

Vì sao cùng một kết quả lại có cách viết số khác nhau ở hai phần hiển thị?

Không còn khác nhau ở bản hiện tại: thẻ kết quả và biểu thức thay số dùng chung ngưỡng chuyển sang ký hiệu khoa học là nhỏ hơn 0.0001 hoặc lớn hơn một tỷ. Riêng λ và τ dùng bốn chữ số có nghĩa, nên cách viết của hai đại lượng này có thể khác thẻ kết quả mà vẫn cùng một phép tính.

Thời gian tính được có phải tuổi khảo cổ chính xác của mẫu không?

Không tự động. Kết quả là thời gian suy ra từ dữ liệu và giả định được đưa vào mô hình. Để gọi đó là tuổi khảo cổ, cần chứng minh mốc ban đầu phù hợp, lượng hoặc tỷ lệ ban đầu có cơ sở và mẫu không bị thay đổi theo cách làm sai giả định. Công cụ không xử lý phép đo mẫu, hiệu chuẩn hoặc khoảng bất định. Vì thế, nhãn “tuổi vật” nên được hiểu là tuổi theo mô hình, không phải kết luận chuyên môn đã hiệu chuẩn.

Có thể dùng lượng đã phân rã để đánh giá mức nguy hiểm phóng xạ không?

Không thể đánh giá mức nguy hiểm chỉ từ Δm. Đại lượng này phản ánh phần lượng của chất đã chuyển hóa trong khoảng thời gian xét, không trực tiếp cho biết hoạt độ hiện tại, loại bức xạ hay liều người có thể nhận. Đánh giá nguy cơ còn phụ thuộc đặc tính đồng vị, cách tiếp xúc, thời gian tiếp xúc, khoảng cách và điều kiện che chắn. Công cụ không tính các yếu tố đó; kết quả không nên được dùng làm căn cứ cho quyết định xử lý hoặc tiếp xúc vật liệu phóng xạ.